Ces tableaux sont dérivés du tableau exhaustif et s’imposent à l’utilisateur qui souhaite analyser les données ou tout simplement lorsque la taille de la population ne permet pas une représentation sous forme de tableau exhaustif. Le tableau d’effectif comptabilise le nombre d’unités statistiques qui répondent aux différentes valeurs (ou groupe de valeurs) ou modalités (ou groupe de modalités) d’un caractère.
Tableau d’effectifs unidimensionnel
Un tableau d’effectif peut être unidimensionnel, c’est-à-dire que les effectifs sont distribués sur les modalités ou les valeurs d’un seul caractère, comme l’illustre l’exemple ci-après.
Effectifs, fréquences, pourcentages et cumuls
Ce tableau comptabilise les 50 étudiants du tableau exhaustif ci-après en les distribuant en fonction de la note obtenue dans la matière x.
Souvent, on préfère les pourcentages aux effectifs. On trouve aussi des tableaux où les effectifs et les pourcentages sont cumulés. Le tableau 4 illustre ces différentes possibilités en se limitant à une seule variable (la note obtenue dans la matière x). Les cumuls sont présentés ici par ordre croissant des notes obtenues .
Par exemple, la colonne « effectifs cumulés » se lit ainsi :
1 étudiant a obtenu la note 0 (moins de 1),
4 étudiants ont obtenu moins de 2,
7 étudiants ont obtenus moins de 3, etc.
Cette colonne s’obtient en ajoutant l’effectif suivant à l’effectif cumulé précédent. Au départ, le « compteur de cumul » est initialisé à 0. Puis on pose la question : combien y-a-t-il d’étudiants qui ont eu moins de 1 : Il y a un étudiant qui a obtenu 0, donc moins de 1. Le « compteur de cumul » sera donc égal à 1 et cette valeur sera placée dans la première case de la colonne, en face de la note 0. Ensuite on repose la question : combien y-a-t-il d’étudiants qui ont obtenu moins de 2 : Il y a un étudiant qui a obtenu 0 et 3 étudiants qui ont obtenu 1. On ajoute donc 3 au compteur de cumuls, dont la valeur devient égale à 4 et on place cette valeur dans la seconde case de la colonne, en face de la note 1. Et ainsi de suite jusqu’à ce que la valeur du compteur de cumuls soit égale à l’effectif total de la population, soit ici 50.
Tableau exhaustif : les notes de chacun des 50 étudiants dans la matière x, la matière y, ainsi que le groupe de TD et le sexe.
Tableau d’effectifs bidimensionnel
Un tableau d’effectif peut être bidimensionnel, c’est-à-dire que les effectifs sont distribués sur les modalités ou les valeurs de 2 caractères, comme l’illustre l’exemple ci-après :
Tableau d’effectifs dérivé du tableau exhaustif précédent
Un autre exemple est donné ci-après
Dans le tableau d’effectifs ci-après, dérivé du tableau 2, il y a au départ deux caractères :
- La note obtenue dans la matière x, qui est un caractère quantitatif ayant 11 valeurs (0 à 10, puisqu’il n’y a pas de notes décimales)
- Le sexe, qui est un caractère qualitatif ayant 2 modalités.
Répartition des effectifs totaux selon la note obtenue dans la matière x et le sexe.
Les effectifs peuvent aussi être distribués par classes de valeurs ou par catégories de modalités, comme l’illustre l’exemple ci-après.
Regroupement des effectifs totaux par catégories de notes (matière x) et par sexe.
Tableaux d’effectifs à deux caractères et calculs de pourcentages
Nous avons indiqué précédemment que les tableaux d’effectifs avaient souvent pour objectif d’analyser les données de façon plus précise. Pour le montrer, nous allons étudier de façon plus détaillée les différentes façons de présenter les résultats à partir d’un tableau d’effectif à deux caractères (tableau bidimensionnel).
Tableaux exprimés en pourcentage de l’effectif total
La possibilité la plus simple consiste à exprimer les effectifs de chaque case en pourcentage du total général. Par exemple, soit le tableau d’effectifs suivant, dans lequel les 50 étudiants sont distribués par sexe et par groupe :
Tableaux exprimés en pourcentage des effectifs totaux de chaque ligne
Ajoutons une colonne « total » au tableau 5. Puis exprimons chaque effectif du tableau en pourcentage du total de la ligne sur laquelle il se trouve. Par exemple, nous devons :
- diviser 8 par 26 (et multiplier par 100),
- puis diviser 4 par 26,
- 7 par 26
- et encore 7 par 26,
- et multiplier à chaque fois par 100.
Nous obtenons alors la répartition en pourcentage des 26 filles entre les groupes. On voit par exemple que 30,7% du total des filles se trouve dans le groupe A, alors que seulement 15,38% du total des filles se trouve dans le groupe B.
La seconde ligne nous donne la répartition en pourcentage des 24 garçons entre les groupes. On voit par exemple que 29,17% du total des garçons se trouve dans le groupe B contre 16,7% seulement dans le groupe A.
Tableaux exprimés en pourcentage des effectifs totaux de chaque colonne
Ajoutons une ligne « total » au tableau 5. Puis exprimons chaque effectif du tableau en pourcentage du total de la colonne sur laquelle il se trouve.
Par exemple, pour la colonne A nous devons diviser 8 par 12 (et multiplier par 100), puis diviser 4 par 12 (et multiplier par 100). Nous obtenons ainsi le pourcentage de garçons et de filles au sein du groupe A. Nous devons ensuite faire la même opération pour les groupes B, C et D.
Tableau d’effectifs à plus de deux dimensions
Un tableau d’effectif peut avoir autant de dimensions qu’on le souhaite. Pour construire des tableaux à plus de deux caractères, il est nécessaire « d’imbriquer » les caractères supplémentaires les uns dans les autres. Plus on ajoute de caractères, et plus la lecture du tableau devient difficile.
Le tableau ci-après présente la répartition de 2201 personnes recensées à bord du Titanic lors de son naufrage dans la nuit du 14 au 15 avril 1912, suivant 4 caractères : sexe, âge (adulte/enfant), classe (1, 2 ou 3 ou équipage), état vital après le naufrage (survivant/mort).
Statistiques sur les 2201 naufragés du TITANIC (*)
(*) Le nombre total de personnes présentes à bord du TITANIC au moment du naufrage, pas plus que le nombre exact de personnes décédées, ne sont connus avec certitude. En outre, le sexe des personnes a parfois été établi uniquement à partir du prénom.